\documentclass[10pt]{article}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Fichier de style de T. Duvoid -- version du 14/11/2007%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Les extensions utilis\'ees
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-plot,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,pst-tree,pst-node} %manque picins
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{theorem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{multicol}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{marvosym,ulem}
\usepackage{xspace}
\usepackage{vmargin}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tikz}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{stmaryrd}
\makeatletter
\define@key[psset]{}{transpalpha}{\pst@checknum{#1}\pstranspalpha}
\psset{transpalpha=1}
\def\psfs@transp{%
  \addto@pscode{/Normal .setblendmode \pstranspalpha .setshapealpha }%
  \psfs@solid}

%Normalisation de la page
\setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\hoffset}{-1cm}
\setlength{\voffset}{-1cm}
\setlength{\footskip}{1cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\headsep}{0.3cm}
\setlength{\marginparsep}{0cm}
\setlength{\marginparwidth}{0cm}
\setlength{\marginparwidth}{0cm}
\setlength{\textwidth}{18cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}




%Cr\'eation des ensembles math\'ematiques
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mbox{I\hspace{-.15em}N}}\xspace}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mbox{I\hspace{-.15em}R}}\xspace}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mbox{l\hspace{-.47em}C}}\xspace}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}}\xspace}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mbox{l\hspace{-.47em}Q}}\xspace}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mbox{I\hspace{-.15em}D}}\xspace}

%Arc de cercle 
 \newlength{\longarc} 
 \newcommand{\arc}[1]{\settowidth{\longarc}{$#1$}% 
         \addtolength{\longarc}{-0.5em}% 
 \unitlength \longarc% 
 \ensuremath{% 
         \stackrel{\begin{picture}(1,0.2) 
                 \qbezier(0,0)(0.5,0.2)(1,0) 
         \end{picture}} 
         {#1} 
 }}
%flèches d'\'equivalence et de vecteurs
\newcommand{\ssi}{\ensuremath{\Longleftrightarrow}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\overrightarrow{#1\;}}


%%commandes ‡ utiliser en \chead{\ds{...}} AVANT \begin{document}
%\newcommand{\ds}[3]%classe,N°,durÈe,date
%{{#1}\hfill \Large{Contrôle N° {#2}}\hfill \small{{#3}}}
%\newcommand{\dm}[2]%classe,N°,pour le
%{{#1}\hfill {\Large{Devoir à la maison N°{#2}}} \hfill Pour le \hspace{0,5cm} / \hspace{0,5cm} / \hspace{1cm}}
%\newcommand{\tete}[3]%en tete sur trois entrÈes
%{{#1}\hfill {\Large{#2}} \hfill {#3}}
%\newcommand{\encadre}[3]{\framebox[\textwidth]{\tete{#1}{#2}{#3}}}
%\newcommand{\exam}[2]%examen (cap, bep ...),annee
%{NOM : \dotfill Pr\'enom : \dotfill Classe : \dotfill \hspace{5cm}\small{.... / .... / {#2}}\\
%\\
%{\centerline {\LARGE{#1} {#2}}\hfill }}
%%%%%%%%%

%\pagestyle{fancy}
%\lhead[paire gauche]{\thesection}
%\rhead[paire droit]{Page \thepage sur \nbpages}
%\cfoot{}
%pour les numÈros de pages: fonctionne mal avec french
%\AtEndDocument{\label{fin}}
%\newcommand{\nbpages}{\pageref{fin}}
%%%%%%%%%%%
%Symbole Attention
\font\manual=manfnt
\newcommand{\danger}{{\manual\symbol{127}}}
%%%%%%%%Pour des flËches dans les tableaux de variation
\newcommand{\cro}{% croissante
\unitlength=1cm
\begin{minipage} {1cm}%pour centrer verticalement f(x)
  \begin{picture}(1,1)    % dessin de 2 X 2
     \put(0,0){\vector(1,1){1}} % 1 ‡ partir (0,0) direction (1,1)  
 \end{picture} 
\end{minipage}
}
\newcommand{\dec}{%dÈcroissante
\unitlength=1cm
\begin{minipage} {1cm}%pour centrer verticalement f(x)
  \begin{picture}(1,1)    % dessin de 2 X 2
     \put(0,1){\vector(1,-1){1}} 
 \end{picture} 
\end{minipage}
}
%%toutes les maths en style math
\everymath{\displaystyle}
%%
\newcommand{\repere}{$(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$}
%%
\newcounter{numex} 
\def\Ex#1{\addtocounter{numex}{1} \mbox{\large{\textsc{Exercice}} 
\thenumex { \scriptsize #1}}}
%%%
\newcounter{numseance} 
\def\seance#1{\addtocounter{numseance}{1} \mbox{\large{\textsc{Séance}} 
\thenumseance { \scriptsize #1}}}
%
%\def \points#1%
%{%
%\if -#1
%\xspace%
% \else
%{\small ( #1 points )}\xspace%
%\fi
%}
%pour compatibilitÈ ancienne version
\def\exop#1{\exo[#1]}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\e}{e}


%%%%%%
%% D\'efinition
\theoremstyle{break}
\newtheorem{defi}{D\'efinition}
\newsavebox{\defbox}
\newlength{\defhaut}
\newenvironment{definition}{%
\begin{lrbox}{\defbox}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}}{%
\end{minipage}
\end{lrbox}

\begin{defi}
\fbox{\usebox{\defbox}}
\end{defi}}

%% Propri\'et\'e
\newtheorem{prop}{Propri\'et\'e}
\newsavebox{\propbox}
\newlength{\prophaut}
\newenvironment{propriete}{%
\begin{lrbox}{\propbox}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}}{%
\end{minipage}
\end{lrbox}

\begin{prop}
\fbox{\usebox{\propbox}}
\end{prop}}

%% Th\'eorème
\newtheorem{theo}{Th\'eorème}
\newsavebox{\theobox}
\newlength{\theohaut}
\newenvironment{theoreme}{%
\begin{lrbox}{\theobox}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}}{%
\end{minipage}
\end{lrbox}

\begin{theo}
\fbox{\usebox{\theobox}}
\end{theo}}

%% Remarques et applications et activit\'es
{\theoremstyle{plain}
\theorembodyfont{\normalfont}
\newtheorem{remarque}{Remarque}}
{\theoremstyle{plain}
\theorembodyfont{\normalfont}
\newtheorem{application}{Application}}
{\theoremstyle{plain}
\theorembodyfont{\normalfont}
\newtheorem{activite}{Activit\'e}}

%% Exemple
\newenvironment{exemple}{%
\noindent \itshape \textbf{Exemple :}}{%
\upshape}



%%%%%%%%%%%%%
%% EN TETE %%
\newcommand{\entete}[3]{
	\lhead{#1}
	\chead{#2}
	\rhead{#3}
	\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}
	\pagestyle{fancy}
}


\begin{document}
\entete{2011/2012}{\Large{ \textsc{\Large{10 - Réciproque du théorème de Thalès}}}}{3e}	


\noindent\seance{}\\
\textbf{Parallèles ?}\\
Les droites $(LA)$ et $(HT)$ sont-elles parallèles ?
\begin{center}
	\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\begin{pspicture*}(-2,-0.3)(3,3.5)
	\psplot{-2}{3}{(--7.52-2.5*x)/3.44}
	\psplot{-2}{3}{(--2.55--1.63*x)/1.83}
	\psplot{-2}{3}{(--0.96--0.14*x)/3.88}
	\psplot{-2}{3}{(--11.15--0.14*x)/3.88}
	\rput[bl](-0.82,2.96){$H$}
	\rput[bl](2.62,0.46){$A$}
	\rput[bl](-1.54,0.5){$L$}
	\rput[bl](0.38,2.06){$M$}
	\rput[bl](1.62,3.08){$T$}
	\rput[bl](-0.5,2.06){$4$}
	\rput[bl](-0.7,1.06){$6$}
	\rput[bl](1.2,2.06){$8$}
	\rput[bl](1.6,1.1){$3$}
	\end{pspicture*}
\end{center}
\medskip
\noindent\textit{Ne pas insister sur la rédaction, bien faire apparaître qu'il ne s'agit pas d'utiliser le théorème de Thalès, faire émerger l'idée de réciproque, laisser floue l'idée des points alignés dans le même ordre.}

\vspace{1cm}
\noindent\seance{}\\
\textbf{Rapports}\\
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-2.3,-2) rectangle (2.2,4);
	\draw [domain=-2.3:2.2] plot(\x,{(--2.21--2.42*\x)/1.82});
	\draw [domain=-2.3:2.2] plot(\x,{(-2.88--2.12*\x)/-1.34});
	\draw [domain=-2.3:2.2] plot(\x,{(-2.01--0.3*\x)/3.16});
	\draw [domain=-2.3:2.2] plot(\x,{(--0.35--0.3*\x)/3.16});
	\draw [domain=-2.3:2.2] plot(\x,{(--9.82--0.3*\x)/3.16});
	\draw (-1.5,-0.78)-- (-0.89,0.03);
	\draw (-1.29,-0.35) -- (-1.15,-0.46);
	\draw (-1.25,-0.3) -- (-1.1,-0.4);
	\draw (0.32,1.64)-- (-0.29,0.83);
	\draw (0.11,1.21) -- (-0.03,1.32);
	\draw (0.07,1.16) -- (-0.08,1.26);
	\draw (0.32,1.64)-- (0.77,0.94);
	\draw (0.6,1.2) -- (0.43,1.22);
	\draw (0.6,1.2) -- (0.66,1.36);
	\draw (0.77,0.94)-- (1.21,0.23);
	\draw (1.05,0.49) -- (0.88,0.51);
	\draw (1.05,0.49) -- (1.1,0.65);
	\draw (1.21,0.23)-- (1.66,-0.48);
	\draw (1.49,-0.22) -- (1.32,-0.2);
	\draw (1.49,-0.22) -- (1.55,-0.06);
	\draw (0.32,1.64)-- (0.93,2.45);
	\draw (0.53,2.07) -- (0.68,1.96);
	\draw (0.57,2.13) -- (0.72,2.02);
	\draw (0.93,2.45)-- (1.53,3.25);
	\draw (1.14,2.88) -- (1.28,2.77);
	\draw (1.18,2.93) -- (1.32,2.83);
	\draw (0.32,1.64)-- (-0.13,2.35);
	\draw (0.04,2.08) -- (0.21,2.07);
	\draw (0.04,2.08) -- (-0.02,1.92);
	\draw (-0.13,2.35)-- (-0.57,3.05);
	\draw (-0.41,2.79) -- (-0.24,2.77);
	\draw (-0.41,2.79) -- (-0.47,2.63);
	\draw (-0.89,0.03)-- (-0.29,0.83);
	\draw (-0.68,0.46) -- (-0.54,0.35);
	\draw (-0.64,0.51) -- (-0.5,0.4);
	\draw  (-1.5,-0.78)-- ++(-0.5pt,-0.5pt) -- ++(1.0pt,1.0pt) ++(-1.0pt,0) -- ++(1.0pt,-1.0pt);
	\draw (-1.42,-1.02) node {$A$};
	\draw  (1.66,-0.48)-- ++(-0.5pt,-0.5pt) -- ++(1.0pt,1.0pt) ++(-1.0pt,0) -- ++(1.0pt,-1.0pt);
	\draw (1.52,-0.8) node {$B$};
	\draw  (0.32,1.64)-- ++(-0.5pt,-0.5pt) -- ++(1.0pt,1.0pt) ++(-1.0pt,0) -- ++(1.0pt,-1.0pt);
	\draw (0.56,1.62) node {$O$};
	\draw  (1.53,3.25)-- ++(-0.5pt,-0.5pt) -- ++(1.0pt,1.0pt) ++(-1.0pt,0) -- ++(1.0pt,-1.0pt);
	\draw (1.86,3.06) node {$N_2$};
	\draw  (-0.89,0.03)-- ++(-0.5pt,-0.5pt) -- ++(1.0pt,1.0pt) ++(-1.0pt,0) -- ++(1.0pt,-1.0pt);
	\draw (-0.72,-0.24) node {$N_1$};
	\draw (-0.72,2.84) node {$M_2$};
	\draw  (1.21,0.23)-- ++(-0.5pt,-0.5pt) -- ++(1.0pt,1.0pt) ++(-1.0pt,0) -- ++(1.0pt,-1.0pt);
	\draw (1.1,-0.04) node {$M_1$};
	\draw  (-0.29,0.83)-- ++(-1.5pt,-1.5pt) -- ++(3.0pt,3.0pt) ++(-3.0pt,0) -- ++(3.0pt,-3.0pt);
	\draw  (0.93,2.45)-- ++(-1.5pt,-1.5pt) -- ++(3.0pt,3.0pt) ++(-3.0pt,0) -- ++(3.0pt,-3.0pt);
	\draw  (-0.13,2.35)-- ++(-1.5pt,-1.5pt) -- ++(3.0pt,3.0pt) ++(-3.0pt,0) -- ++(3.0pt,-3.0pt);
	\draw  (0.77,0.94)-- ++(-1.5pt,-1.5pt) -- ++(3.0pt,3.0pt) ++(-3.0pt,0) -- ++(3.0pt,-3.0pt);
	\end{tikzpicture}
\end{center}
Déterminer la valeur des rapports $\frac{OM}{OB}$, $\frac{AN_1}{OA}$ et $\frac{ON_2}{OA}$.\\
Que pouvez vous en conclure pour les droites $(MN_1)$ et $(AB)$ ?\\
Que pouvez vous en conclure pour les droites $(MN_2)$ et $(AB)$ ?\\
\\
\\\textit{A l'issue de cet exercice, rédiger avec les élèves une formulation de la réciproque du théorème de Thalès. Par exemple : }\\ \\
Si $ABC$ et $AMN$ sont deux triangles tels que les points $A, B, M$ et $A,C,N$ sont alignés dans le même ordre et tels que $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.




\vspace{1cm}
\noindent\seance{}\\
\textbf{Triangle DFG}\\
$DFG$ est un triangle tel que $DF=11$ cm, $FG=6$ cm,  $DG=7,7$ cm, $a \in [DF]$, $DA=9$ cm, $E \in [DG]$ et $DE=6,3$ cm.\\
\\ Démontrer que les droites $(AE)$ et $(FG)$ sont parallèles.


\vspace{1cm}
\noindent\seance{}\\
\textbf{Triangle DCV}\\
$DCV$ est un triangle tel que $DV=6,4$ cm, $DC=3,6$ cm,  $CV=4$ cm, $D \in [VO]$, $DO=5,5$ cm, $D \in [CA]$ et $DA=3,1$ cm.\\
\\ Déterminer la position relative des droites $(CV)$ et $(AO)$.




\vspace{1cm}
\noindent\seance{}\\
\textbf{Quadrilatère}\\
$ABCD$ est un quadrilatère. $O$ est le point d'intersection de ses diagonales.\\
$OA=2,4$ cm, $OB=3,6$cm, $OC=2,8$ cm, $OD=4,2$ cm, $AB=4,2$ cm.\\
\\
Calculer la longueur $DC$.



\vspace{1cm}
\noindent\seance{} Un peu plus tard\\
\textbf{Incontournable ?}\\
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=12$ cm et $AC=8$ cm. $F$ est le point du segment $[AC]$ tel que $AF=4$ cm et $E$ le point du segment $[AB]$ tel que $AE=6$ cm.\\
\\Démontrer que les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles.




\vspace{1cm}
\noindent\seance{}\\
\textbf{Contrefort}\\
Pour consolider un bâtiment, des charpentiers ont construit un contrefort en bois schématisé ci-dessous. Les mesures sont exprimées en mètres.
\begin{enumerate}
	\item En considérant que le montant $[BS]$ est perpendiculaire au sol, calculer la longueur $AS$.
	\item Calculer les longueurs $SM$ et $SN$.
	\item Démontrer que la traverse $[MN]$ est bien parallèle au sol.
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate(A) at (0,0);
\coordinate(B) at (2,0);
\coordinate(C) at (4,0);
\coordinate(M) at (0.7,1.8);
\coordinate(N) at (2,1.8);
\coordinate(S) at (2,5);
\coordinate(T) at (2,6);
\coordinate(U) at (4,6);
\draw (B) -- (C) -- (U) -- (T) -- cycle;
\draw (S) -- (A);
\draw (A)-- (B);
\draw (M)-- (N);
\draw (B) -- (C) node[midway, below]{$sol$};
\draw (A) node[below left] {$A$};
\draw (B) node[below] {$B$};
\draw (M) node[above left] {$M$};
\draw (N) node[above right] {$N$};
\draw (S) node[left] {$S$};
\draw[<->] (-.1,0) -- (0.6,1.8) node[midway, left] {$1.95$};
\draw[<->] (0,-0.1) -- (2,-0.1) node[midway, below] {$2.5$};
\draw[<->] (2.1,0) -- (2.1,1.8) node[midway, right] {$1.8$};
\draw[<->] (3,0) -- (3,5) node[midway, right] {$6$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent\seance{}\\
Problème Amérique du Sud novembre 2009

\end{document}